Lo único que hay que hacer para obtener la ecuación de una onda estacionaria es aplicar el principio de superposición con la onda incidente y la reflejada, el valor de cuyos parámetros es exactamente el mismo, sólo distinguiéndose por el signo que pone de relieve la dirección en la que se propagan:
+ hacia la izquierda
- hacia la derecha
Lo que se obtiene es un valor de la amplitud que depende de la posición oscilando según un término temporal que depende de la frecuencia. Tal amplitud muestra unos valores máximos (vientres) y nulos (nodos) para ciertas posiciones en función del número de onda.
La intensidad del sonido en el interior de un tubo de Kundt alcanzará máximos y mínimos en diferentes puntos dependiendo de la frecuencia del tono inyectado en el mismo y de la longitud del medio en el que se propaga antes de reflejarse. Esta longitud se puede ajustar utilizando un émbolo móvil.
Esto puede utilizarse como técnica, basada en le percepción auditiva para detectar los puntos en los que se encuentran los vientres y los nodos para cada frecuencia, y de ahí deducir la velocidad de propagación del sonido igual que se puede hacer con bolitas de porexpan.
La onda de intensidad oscila entre un máximo de amplitud 2A y 0, mientras la onda incidente y la reflejada oscilan entre -A y A.
Este vídeo es muy interesante porque muestra como se crean ondas estacionarias en un círculo. Esto es lo que propuso el modelo atómico de Bohr que le pasaría al electrón alrededor del átomo, lo que conllevó la postulación del primer principio de cuantización atómica. Por lo tanto, esta es la piedra angular sobre la que nació la Física Cuántica.
Como se puede apreciar en el vídeo solamente puede existir un número discreto de valores de longitudes de onda que mantengan ondas estacionarias en un círculo. La consecuencia inmediata de ello a nivel atómico es que el electrón tiene que ser una onda!!!
Hasta ahora hemos visto como se comporta y caracteriza una onda armónica. ¿Pero cómo podemos describir lo que sucede cuando varias ondas viajan por el mismo medio? Eso viene dado por el principio de superposición.
El origen estricto del principio de superposición es puramente matemático y requiere que un sistema o fenómeno físico pueda ser descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Una manera simplificada de ejemplificar tal tipo de ecuaciones es imaginar una función y(x). La función es lineal si la solución suma de las soluciones que se obtienen a partir de dos valores diferentes de x,
y1 + y2 = f(x1) + f(x2)
es igual a la solución que se obtiene directamente de la suma de los dos valores de x,
y12 = f(x1 + x2)
y1 + y2 = y12
Laconsecuencia de ella es que, aplicado a las ondas, cada onda se comporta como si las demás ondas no estuvieran presentes en el medio.
Si uno quiere hallar el comportamiento total de todas las ondas que se propagan en un medio, puede hallar la ecuación que describe a cada una de ellas y no debe hacer más que sumarlas todas para hallar la ecuación final que las describe a todas a la vez.
Uno de los casos específicos en lo que se aplica el principio de superposición es el de la ondas estacionarias. Estas son ondas que se producen en un medio que esta fijo por uno o ambos extremos; como puede ser una cuerda. Lo que ocurre es que por el extremo que está fijo el medio de propagación, al llegar una onda, es reflejada. Entonces, al haber una onda incidente y otra reflejada, la onda total resulta de la superposición de ambas.
Un caso aún más específico se da cuando una onda estacionaria se produce en un círculo.
En todos los casos las ondas estacionarias ponen de relieve que éstas solamente pueden perdurar si su longitud de onda guarda una relación concreta con la longitud entre los extremos o del círculo. Es decir, que las ondas estacionarias solamente existen para un número discreto de longitudes de ondas.
Esto es lo que llevaría a la formulación del primer principio de cuantización que daría nacimiento a la Física Cuántica.
Siendo rigurosos, el principio de superposición solamente es válido para las ondas electromagnéticas y ondas mecánicas de pequeña amplitud, como las ondas sonoras. Para ondas mecánicas de gran amplitud, las vibraciones locales del medio ya no pueden ser descritas como osciladores armónicos y las ecuaciones reales que las modelan incluyen términos no lineales como senos y cosenos.
Las ondas estacionarias se producen cuando una onda viaja en un medio hasta un punto en el que es reflejada, de suerte que la onda incidente y la reflejada interfierende tal forma que se crea un patrón fijo en el espacio de puntos donde hay máximos y mínimos. Los máximos se dan donde la interferencia es siempre constructiva y los puntos en los que se producen se denominan vientres. Los mínimo se dan donde la interferencia es siempre destructiva y los puntos en los que se producen se denominan nodos. En los nodos la amplitud de la onda es nula.
La condición sin-ecuanum para que haya ondas estacionarias es una relación geométrica entre la longitud de onda y la distancia entre el punto donde se generan las ondas y el punto en el que se reflejan. El resultado de esta condición es una serie de valores discretos de longitudes de onda. Cualquier longitud de onda que verifique esta condición dará pie a ondas estacionarias. Esto conduce a que variando la frecuencia de la perturbación que genera las ondas encontremos ciertos valores para los que éstas sean estacionarias.
Hay dos escenarios generales en los que se pueden producir ondas estacionarias. El primero es aquel en el que los dos extremos del medio de propagación se corresponden con un nodo. El más claro ejemplo de ello es una cuerda fija por los dos extremos. Este es el caso que vemos en el vídeo que acompaña a esta entrada. El segundo escenario es aquel en el que el medio de propagación presenta en un extremos un nodo y en el otro un vientre. Un ejemplo es un tubo que tiene una superficie límite por un extremo pero está abierto por el otro.
Dependiendo de si consideramos un medio con los dos extremos fijos o un extremo abierto la relación entre la longitud de onda y la longitud total para que se produzcan ondas estacionarias cambiará.
Las ondas estacionarias son las que están detrás de la reverberación que genera los sonidos característicos de los instrumentos musicales. También son imprescindibles para comprender el principio que daría pie a la primera cuantización de la Física Cuántica.
Una onda no es otra cosa que la propagación de una perturbación. Cuando la perturbación es periódica y actúa de forma que su dependencia con el tiempo es sinusoidal, la ecuación de la onda puede hallarse como la traslación del movimiento armónico simple al que está sometido cada punto del medio afectado por la onda.
Cuando en la expresión final tenemos un signo negativo entre el término temporal y el espacial, se conviene que la onda se propaga hacia la derecha. Cuando lleva un signo positivo, la onda se propaga hacia la izquierda.
El movimiento que genera una onda periódica es consecuencia del transporte de la energía de la perturbación que la ha originado en una determinada dirección. Pero al nivel de un punto concreto del medio en el que se propaga la onda, el tipo de movimiento que ese punto experimenta es un movimiento armónico simple.
En esencia, un movimiento armónico simple es el que experimenta un objeto a cuenta de una fuerza recuperadora elástica que actúa para volverlo a llevar a su posición de equilibrio después de que una fuerza externa lo haya alejado del mismo.
El caso más sencillo de movimiento armónico simple es el del muelle elástico, el cual se caracteriza por su constante de recuperación elástica k y la masa del cuerpo m que pende de él. La fuerza recuperadora elástica es descrita por la Ley de Hooke. El análisis de todas las fuerzas operando en el sistema conduce a la ecuación diferencial que, resulta, lo describe como un sistema oscilante cuya frecuencia depende, como se ve en el vídeo, de k y de m.
Sin duda lo más interesante es que para el movimiento armónico simple el periodo de las oscilaciones sea constante, ya que depende únicamente de las propiedades del sistema, y no de su amplitud. De forma que, aunque debido a las pérdidas por rozamiento la amplitud de las oscilaciones vaya disminuyendo, cada oscilación durará exactamente igual. Ese valor, para el muelle elástico, depende únicamente de k y de m. ¿Ocurrirá lo propio con un péndulo simple?
El estudio de las ondas se centra muy a menudo en un caso práctico conocido como ondas planas. Las ondas planas no existen realmente ya que todas las ondas deben partir de un foco emisor y, por lo tanto, sus frentes de onda tienen que mostrar convergencia hacia un punto. Para ondas planas, el foco emisor se encontraría en el infinito.
Si las ondas fueran generadas por un foco puntual, los frentes de onda serían superficies esféricas. Pero en realidad los focos emisores tienen una forma dada y ocupan un espacio, como ocurre con una antena emisora de radio, por ejemplo, y entonces la forma de los frentes de onda se puede complicar bastante.
Sin embargo, a grandes distancias, es más que aceptable asemejar el foco emisor a un punto, y aproximar las ondas esféricas a ondas planas, ya que si comparamos las superficies concéntricas de esferas muy grandes en una escala muy pequeña respecto a su radio, éstas parecen planos paralelos.
En esta aproximación, las ondas pueden ser descritas por una ecuación que solamente dependerá de una variable espacial y el tiempo. De lo contrario, la posición en la ecuación de onda debería ser tratada con un vector r = (x, y, z). De igual manera, fuera de la aproximación de ondas planas, el número de ondas k, se tendrá que tratar como un vector de componentes k = (kx,ky,kz).
En el vídeo de abajo podemos ver los frentes de onda de ondas planas generadas en este caso con una cubeta de ondas, sin necesidad de recurrir, por lo tanto, a la aproximación mencionada anteriormente.
Tras haber visto, con todo lujo de detalles, cómo se predijo y posteriormente se demostró la existencia de las ondas electromagnéticas, ha llegado el momento de dirigir nuestro estudio a los que son las ondas en sí, sus características, sus propiedades y su formulación.
Sirvan este par de vídeos de la colección "El Universo Mecánico" para abrir esta sección.
En una máquina de ondas hecha con fines didácticos podemos apreciar como se propaga la perturbación a través de una onda. Aunque la forma más fácil de imaginarnos y representar una onda es cuando ésta oscila en una sola dirección, muy a menudo el movimiento oscilador puede acontecer en un plano o incluso en todo el espacio.
Cuando una onda se genera lo que sucede es que la energía de la perturbación que la ha generado se transmite de unas partículas a sus vecinas en una determinada dirección. Pero las partículas, una vez pasada la onda, se mantienen en su posición original. Por lo tanto, en una onda se transmite la energía, pero no la materia.
Una onda, sea del tipo que sea, se genera siempre como consecuencia de una perturbación. Una perturbación es una acción producida por un agente externo que rompe el equilibrio del sistema. En el vídeo el sistema es el recipiente con agua y el agente externo es el bastón. Cada vez que el bastón golpea al agua en un punto dado genera una perturbación cuya propagación constituye el frente de ondas.
Así que ya sabes, ya sea que hablemos de ondas en el agua, ondas de sonido, ondas sísmicas o incluso ondas de pensamiento, detrás de todas ellas siempre tenemos una perturbación; ya sea ésta el golpeteo del bastón, un relámpago rompiendo en el aire, el colapso de una falla o la impresión de una fuerte emoción.
